Differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari

Linear vs Equazioni differenziali non lineari

Una equazione contenente almeno un coefficiente differenziale o derivato di una variabile sconosciuta è conosciuta come un'equazione differenziale. Un'equazione differenziale può essere lineare o non lineare. Lo scopo di questo articolo è quello di spiegare ciò che è l'equazione differenziale lineare, che cosa è l'equazione differenziale non lineare, e qual è la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari.

Dal momento che lo sviluppo del calcolo nel XVIII secolo dai matematici come Newton e Leibnitz, l'equazione differenziale ha svolto un ruolo importante nella storia della matematica. Le equazioni differenziali sono di grande importanza nella matematica a causa della loro gamma di applicazioni. Le equazioni differenziali sono al centro di ogni modello che sviluppiamo per spiegare qualsiasi scenario o evento nel mondo se si tratta di fisica, ingegneria, chimica, statistiche, analisi finanziaria o biologia (l'elenco è infinito). Infatti, finché il calcolo non divenne una teoria consolidata, gli strumenti matematici corretti non erano disponibili per analizzare gli interessanti problemi della natura.

Le equazioni risultanti da una specifica applicazione del calcolo possono essere molto complesse e talvolta non solvabili. Tuttavia, ci sono quelli che possiamo risolvere, ma possono sembrare simili e confuse. Pertanto, per facilitare le equazioni differenziali di identificazione sono classificati dal loro comportamento matematico. Lineare e non lineare è una tale categorizzazione. È importante identificare la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari.

Che cos'è un'equazione differenziale lineare?

Supponiamo che

f: X → Y e f (x) = y, un'equazione differenziale senza termini non lineari della funzione sconosciuta y è conosciuto come un'equazione differenziale lineare. Imposta la condizione che y non possa avere termini di indice più alti come y

2 ^{, y} 3 ^{, … e multipli di derivati ​​come} Inoltre non può contenere non lineare termini come Sin

y, e y ^{^ - 2, o ln} y. Prende la forma,

dove

y e g sono funzioni di x. L'equazione è un'equazione differenziale dell'ordine n, che è l'indice del derivato di ordine più alto. In un'equazione differenziale lineare, l'operatore differenziale è un operatore lineare e le soluzioni formano uno spazio vettoriale. Come risultato della natura lineare della soluzione impostata, una combinazione lineare delle soluzioni è anche una soluzione all'equazione differenziale.Cioè se

y 1 _e y 2 _{sono soluzioni dell'equazione differenziale, allora} C 1 _{y < 1} + C ₂ y ₂ è anche una soluzione. _{La linearità dell'equazione è solo un parametro della classificazione e può essere ulteriormente classificata in equazioni differenziali omogenee o non omogenee e ordinarie o parziali. Se la funzione è} g

= 0, l'equazione è un'equazione differenziale lineare omogenea. Se

f è una funzione di due o più variabili indipendenti (f: X, T → Y) e f (x, t) = y l'equazione è un'equazione differenziale parziale lineare.

Il metodo di soluzione per l'equazione differenziale dipende dal tipo e dai coefficienti dell'equazione differenziale. Il caso più semplice si presenta quando i coefficienti sono costanti. Un esempio classico per questo caso è la seconda legge del movimento di Newton e le sue varie applicazioni. La seconda legge di Newton produce un'equazione differenziale lineare di secondo ordine con coefficienti costanti. Che cos'è un'equazione differenziale non lineare?

Le equazioni che contengono termini non lineari sono conosciute come equazioni differenziali non lineari.

Quanto sopra sono le equazioni differenziali non lineari. Le equazioni differenziali non lineari sono difficili da risolvere, quindi è necessario uno studio approfondito per ottenere una soluzione corretta. In caso di equazioni differenziali parziali, la maggior parte delle equazioni non ha una soluzione generale. Pertanto, ogni equazione deve essere trattata in modo indipendente.

L'equazione di Navier-Stokes e l'equazione di Euler nella dinamica fluida, le equazioni di campo di Einstein di relatività generale sono ben noti equazioni differenziali parziali non lineari. A volte l'applicazione dell'equazione di Lagrange a un sistema variabile può determinare un sistema di equazioni differenziali parziali non lineari.

Qual è la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari?

• Un'equazione differenziale, che ha solo i termini lineari della variabile ignota o dipendente ei suoi derivati, è conosciuta come un'equazione differenziale lineare. Non ha termine con la variabile dipendente di indice superiore a 1 e non contiene moltiplicatori dei suoi derivati. Non può avere funzioni non lineari come funzioni trigonometriche, funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche rispetto alla variabile dipendente. Ogni equazione differenziale che contiene i termini sopra menzionati è un'equazione differenziale non lineare.

• Le soluzioni delle equazioni differenziali lineari creano spazio vettoriale e l'operatore differenziale è anche un operatore lineare nello spazio vettoriale.

• Le soluzioni delle equazioni differenziali lineari sono relativamente più semplici e esistono soluzioni generali. Per le equazioni non lineari, nella maggior parte dei casi, la soluzione generale non esiste e la soluzione può essere problematica specifica. Questo rende la soluzione molto più difficile delle equazioni lineari.