Differenza tra numeri razionali e irrazionali Differenza tra
Il termine "numeri" ci porta alla mente quelli che sono generalmente classificati come valori interi positivi maggiori di zero. Altre classi di numeri includono numeri interi e frazioni , complessi e numeri reali e anche valori interi negativi .
Estendendo ulteriormente le classificazioni dei numeri, ci imbattiamo in razionali e numeri irrazionali . Un numero razionale è un numero che può essere scritto come una frazione. In altre parole, il numero razionale può essere scritto come un rapporto di due numeri.
Considerare, ad esempio, il numero 6 . Può essere scritto come il rapporto di due numeri vale a dire. 6 e 1 , che porta al rapporto 6/1 . Allo stesso modo, 2/3 , che è scritto come una frazione, è un numero razionale.
Possiamo quindi definire un numero razionale, come un numero scritto sotto forma di frazione, in cui sia il numeratore (il numero in alto) che il denominatore (il numero in basso) sono numeri interi. Per definizione, quindi, ogni numero intero è anche un numero razionale.
Un rapporto di due numeri grandi come ( 129, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) costituirebbe anche un esempio di numero razionale per la semplice ragione che sia il numeratore che il denominatore sono numeri interi.
Viceversa, qualsiasi numero che non può essere espresso sotto forma di frazione o rapporto viene definito irrazionale. L'esempio più comunemente citato di un numero irrazionale è √ 2 ( 1. 414213 …) . Un altro esempio popolare di un numero irrazionale è la costante numerica π ( 3. 141592 … ) .
Un numero irrazionale può essere scritto come decimale, ma non come una frazione. I numeri irrazionali non sono spesso usati nella vita quotidiana sebbene esistano sulla linea del numero. C'è un numero infinito di numeri irrazionali tra 0 e 1 sulla riga del numero. Un numero irrazionale ha cifre infinite non ripetute a destra del punto decimale.
Si noti che il valore spesso citato di 22/7 per la costante π è in realtà solo uno dei valori di π >. Per definizione, la circonferenza di un cerchio diviso per il doppio del suo raggio è il valore di π. Ciò porta a più valori di π , inclusi, ma non limitati a, 333/106, 355/113 e così via1. Solo le radici quadrate dei numeri quadrati; io. e., le radici quadrate dei
quadrati perfetti sono razionali.
= 1 (Razionale) √2
(Irrazionale) √3
(Irrazionale) √4 < = 2
(Razionale) √5, √6, √7, √8 (Irrazionale)
√9 = 3
(Razionale) e così via. Inoltre, notiamo che solo le n
radici di n i poteri sono razionali. Pertanto, la 6th radice di 64 è razionale, perché 64 è una 6th potenza, ovvero 6th potenza di 2 . Ma la 6th radice di 63 è irrazionale. 63 non è un perfetto 6 th potenza.
razionale
come decimale, il decimale sarà esatto (come in 1/5 = 0. 20) o sarà inesatto (come in, 1/3 ≈ 0. 3333 ). In entrambi i casi, ci sarà un modello prevedibile di cifre. Si noti che quando un numero irrazionale è espresso come un decimale, allora chiaramente sarà inesatto, perché altrimenti il numero sarebbe razionale. Inoltre, non ci sarà un modello prevedibile di cifre. Ad esempio, √2 ≈
1. 4142135623730950488016887242097
Ora, con i numeri razionali, occasionalmente incontriamo 1/11 = 0. 0909090
. L'uso del segno di uguale ( =) e di tre punti ( ellissi ) implica che non è possibile esprimere esattamente 1/11 come decimale, possiamo ancora approssimarlo con il numero di cifre decimali consentito per avvicinarsi a 1/11 . Pertanto, la forma decimale di 1/11
è considerata inesatta. Allo stesso modo, la forma decimale di ¼ che è 0. 25, è esatta. Venendo al formato decimale per i numeri irrazionali, saranno sempre inesatti. Continuando con l'esempio di √
2 , quando scriviamo √2 = 1. 41421356237 … (notare l'uso di ellissi), implica immediatamente che nessun decimale per > √2 sarà esatto. Inoltre, non ci sarà un modello prevedibile di cifre. Usando concetti da metodi numerici, di nuovo, possiamo razionalmente approssimare per il numero di cifre decimali fino a che non siamo vicini a √2 . Qualsiasi nota su numeri razionali e irrazionali non può finire senza la prova obbligatoria del motivo per cui √2 è irrazionale. Nel fare ciò, chiariamo anche il classico esempio di una prova per cont radizione.
Supponiamo che √2 sia razionale. Questo ci porta a rappresentarlo come un rapporto di due numeri interi, ad esempio p
eq . √2 = p / q Inutile dire che p
e
q non hanno fattori comuni, perché se ci dovessero essere dei fattori comuni, avremmo annullato li fuori dal numeratore e dal denominatore. Squadrando entrambi i lati dell'equazione, finiamo con
2
/ q2 Questo può essere convenientemente scritto come p 2
= 2q > 2
L'ultima equazione suggerisce che p 2 è pari. Questo è possibile solo se
p è pari. Ciò a sua volta implica che p 2 è divisibile per 4 . Quindi, q 2 e di conseguenza q deve essere pari.Quindi p e q sono entrambi pari, il che è una contraddizione con il nostro assunto iniziale che non hanno fattori comuni. Pertanto, √2 non può essere razionale. Q. E. D.
