Differenza tra serie di potenza e serie Taylor
Power Series vs Taylor Series Nella matematica, una sequenza reale è un elenco ordinato di numeri reali. Formalmente, è una funzione dall'insieme dei numeri naturali nell'insieme dei numeri reali. Se a n è il termine n th di una sequenza, indichiamo la sequenza da o per a 1, a 2 , …, a n, …. Ad esempio, considerare la sequenza 1, ½, ⅓, …, 1 / n
, …. Può essere denunciato come {1 / n}.È possibile definire una serie usando sequenze. Una serie è la somma dei termini di una sequenza. Pertanto, per ogni sequenza, c'è una sequenza associata e viceversa. Se {a n}
In questo esempio, la serie associata è 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Come suggeriscono i nomi, la serie di potenze è un tipo speciale di serie ed è ampiamente utilizzato nell'analisi numerica e nella relativa modellazione matematica. La serie Taylor è una speciale serie di potenze che fornisce un modo alternativo e facile da manipolare per rappresentare funzioni ben note.
Che cosa è la serie Power?
Una serie di potenze è una serie della forma
che è convergente (probabilmente) per un certo intervallo centrato a c. I coefficienti a n possono essere numeri reali o complessi ed è indipendente da x; io. e. la variabile dummy.
Per esempio, impostando a n = 1 per ogni n, e c = 0, la serie di potenza 1 + x + x 2 + … + x n + … si ottiene. È facile osservare che quando x ε (-1, 1), questa serie di potenze converge a 1 / (1-x).
Una serie di potenze converge quando x = c. Gli altri valori di x per i quali converge la serie di potenza avranno sempre la forma di un intervallo aperto centrato a c. che sia, ci sarà un valore 0≤ R ≤ ∞ tale che per ogni x soddisfi | xc | ≤ R, la serie di potenza è convergente e per ogni x soddisfacente | xc |> R, la serie di potenza è divergente. Questo valore R è chiamato raggio di convergenza della serie di potenza (R può assumere qualsiasi valore reale o infinito positivo).
termini simili vengono aggiunti o sottratti insieme. Inoltre, è possibile moltiplicare e dividere le due serie di potenza utilizzando l'identità, Che cosa è la serie Taylor?
La serie Taylor è definita per una funzione
f (x) che è infinitamente differenziabile su un intervallo. Supponiamo che f (x) sia differenzibile su un intervallo centrato a c. Quindi la serie di potenza che è data da
è chiamato l'espansione della serie Taylor della funzione
f (x) circa c. (c) denota il derivato n th x = c ). Nell'analisi numerica, un numero finito di termini in questa espansione infinita viene utilizzato per calcolare i valori nei punti in cui la serie è convergente alla funzione originale. Una funzione f (x) si dice analitica nell'intervallo (a, b), se per ogni x ε (a, b), la serie Taylor di f (x) converge alla funzione f (x). Ad esempio, 1 / (1-x) è analitico su (-1, 1), poiché la sua espansione Taylor 1 + x + x 2 + … + x n + … converge alla funzione di tale intervallo e e x è analitico ovunque, poiché la serie Taylor di e x converge a e x < per ogni numero reale x. Qual è la differenza tra la serie Power e la serie Taylor? 1. La serie Taylor è una classe speciale di serie di potenza definita solo per funzioni che sono infinitamente differenziabili su alcuni intervalli aperti. 2. La serie Taylor assume la forma speciale mentre una serie di potenze può essere qualsiasi serie della forma
